今天我們就一起來學習一下用公式法解決三集合容斥原理的題目。三集合容斥原理分成標準型和非標準型兩種:
1、三集合標準型容斥原理公式為:滿足條件1的個數+滿足條件2的個數+滿足條件3的個數-滿足條件1和2的個數-滿足條件1和3的個數-滿足條件2和3的個數+三者都滿足的個數=總個數-三者都不滿足的個數;
2、三集合非標準型容斥原理公式為:滿足條件1的個數+滿足條件2的個數+滿足條件3的個數-“只”滿足兩個條件的個數-2×三者都滿足的個數=總個數-三者都不滿足的個數。
那么下面我們一起看幾個例題,應用一下公式法去求解三集合容斥原理。
【例1】某機關開展紅色教育月活動,三個時間段分別安排了三場講座。該機關共有139人,有42人報名參加第一場講座,51人報名參加第二場講座,88人報名參加第三場講座,三場講座都報名的有12人,只報名參加兩場講座的有30人。問沒有報名參加其中任何一場講座的有多少人?
A.12
B.14
C.24
D.28
答案:A
【解析】第一步,本題考查容斥原理,用公式法解題。第二步,設沒有報名參加其中任何一場講座的有x人。根據三集合非標準型容斥原理公式,可列方程42+51+88-30-2×12=139-x,解得x=12。(或者使用尾數法解題)因此,選擇A選項。
【例2】某班參加學科競賽人數40人,其中參加數學競賽的有22人,參加物理競賽的有27人,參加化學競賽的有25人,只參加兩科競賽的有24人,參加三科競賽的有多少人?
A.2
B.3
C.5
D.7
答案:C
【解析】第一步,本題考查容斥問題,屬于三集合容斥類,用公式法解題。第二步,設參加三科競賽的有x人,根據三集合非標準型容斥原理公式可列方程:40-0=22+27+25-24-2x,解得x=5。因此,選擇C選項。通過上面三個例題我們發現,用公式法解決三集合容斥原理還是比較簡單的,只要我們掌握好公式,把公式記牢,考場中直接套用公式,那么容斥原理類的題目還是比較容易拿分的,所以我們要牢記公式。
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